高中导数的二级结论
二阶偏导存在的结论包括:
1.二阶导数是一阶导数的变率
2.二阶导数可
以反映出图像的凹凸,二阶导数大于0,图像为凸,二阶导数小于0,图像为凹。
3.如果把一阶和二阶导数结合可以求函数的极值。当一阶导数为零,二阶导数大于0时,为极小值点;反之为极大值点;当一阶、二阶导数都为0时,称为驻点。
泰勒公式秒杀高考压轴题
《三十六小时谍报战》 情节:乔治薛顿编导的上乘战争片,剧情重点不是一场战役,而是一场布局精妙的心理战。剧情描述美国情报员杰***逊.派克在诺曼第登陆战前两天被德军绑架前往德国巴伐利亚。当派克从昏迷中转醒,发现他置身于盟军的一家医院中,而且此时战争已经结
束,他还有了一个妻子叫安娜。
精神病医生华特格伯要跟派克讨论他的失忆症,其实是想从他口中套出诺曼第登陆的军事情报。
在关键时刻,派克发现了这原来是一场***局,乃跟德军玩猫捉老鼠的斗智游戏,最后更在格伯协助下逃回盟军阵地。悬疑性浓厚的情节始终掌控着观众的好奇心,詹姆斯.加纳、洛.泰勒、伊娃.玛丽.圣等三位主角也都表现出色,可惜压轴的逃亡动作戏拍得比较一般
导数的神级结论
如果一个函数具有任意阶导数,那么可以得出以下结论:该函数在其定义域内是无限可导的。这意味着我们可以计算出函数在任
意点的导数值。此外,函数的高阶导数可以提供更多关于函数曲线的信息,如凹凸性、拐点等。通过研究函数的导数,我们可以了解函数的变化率、极值点以及函数的整体形态。因此,函数的任意阶导数为我们深入理解和分析函数提供了强有力的工具。
导数八大题型汇总
(一)利用导数研究函数的单调性和极值
函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向,若函数图象曲线向上,则为单调递增,反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密,定理如下:在区间(a,b)内,若f’(x)0,那么函数
y=f(x)在该区间内单调递增;若若f’(x)0,那么函数y=f(x)在该区间内单调递减。
例1:已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l时取极值,且f(-2)=-4
(1)求函数y=f(x)的表达式
(2)求函数y=f(x)的单调区间和极值
(1)解:由f(x)=x3+ax2+bx+c得f’(x)=3x2+2ax+b由题意得x=1和x=-1是f’(x)的根,得a=0,b=-3
由f(-2)=-4
得c=-2所以f(x)=x3-3x- 2
(2)f(x)=3x2- 3=3(x+1)(x-1)当x-1时,f(x)0当x=-1时,f(x)=0当-1x1时,f’(x)0当x=1时,f’(x)=0当x1时,f(x)0
所以,f(x)在区间[-∞,-1]上为增函数;在[-1,1]上是减函数;在[1,+∞]上是增函数。函数f(x)的极大值是f(-1)=0,极小值是f(1)=- 4。
在例1中,第二个问题即求函数的单调区间以及极值,我们可以很容易
从例子中看出,当函数的导数在某-区间内大于零时,函数在这个区间内单调递增;相应的,当函数的导数在某已区间内小于零时,函数在这个区间单调递减。因此,在解题过程中,当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候,可以利用求导的方式求出该函数的导数,通过导数判断其单调性和极值。
(二)利用导数求函数的最值
函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某-.-点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说,极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中,却
需要借助极小值和极大值。
例2:求f(x)=y=x4- -8x2+2在[-1,3]上的最值
解:由y=x4 -8x2+2得y’=4x3-16x=4x(x -2)(x+2)令y’=0,得x=0,x=2,x=-2
代人得F(0)=2,f(2)=-14,f(-1)=-5,f(3)=11由于x=-2不在区间[-1,3]中,因此不予考虑。所以f(x)在区间[-1,3]中的最小值为f(2)=-14,最大值为f(3)=11。一般情况下,求某一个函数在某区间内的最值,可先求出该函数在区间内的极值,再将求出的各
极值与该函数在端点处的函数值比较,最大的则为函数的最大值,最小的则为函数的最小值。
(三)构造函数证明不等式
构造函数简单来说就是一一种解题方法,是基于具体数学题目,构造符合题目的函数模型,并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案,如应用于证明不等式中。
例3:已知函数f(x)=xsub2/sub/2-ax+(a-1)lnx,a1.
证明:若a5,则对任意x1,x2∈(0,
+∞),xsub1/sub≠xsub2/sub,有f(xsub1/sub)-f(xsub2/sub)/xsub1/sub-xsub2/sub-1。
解:f(x)=x-a+(a-1)/x=(xsub2/sub-ax+a-1)/x=(x-1)(x+1-a)/xg(x)=f(x)+x=x2/2-ax+(a-1)lnx+x
r>
g(x)=x-(a-1)+(a-1)/x≥2-(a-1)=1-(-1)*2;1a5
g(x)0,即g(x)在(0,+∞)單调递增..当xsub1/subxsub2/sub0时,g(xsub1/sub)-g(xsub2/sub)0故f(xsub1/sub)-f(xsub2/sub)/xsub1
/sub-xsub2/sub-1
当0x1x2时,[f(xsub1/sub)-f(xsub2/sub)]/(xsub1/sub -xsub2/sub)=[f(x2)-f(xsub1/sub)]/(xsub2/sub-xsub1/sub) -1
>
例3中,如果只是按照常规思路进行解题,难度较大,但是通过构造函数g(x)解题,很大程度上降低了解题难度。
(四)导数与函数零点问题
函数零点个数的判断问题是导数与函数的热点问题,其实质仍是利用导数刻画函数图象与性质,这类问题的难点是含参问题中零点会随着参数而移动,确定零点所在的关于参数的区间需要认真分析。
(五)类型四:隐零点整体代换问题
设而不求是解析几何常用的方法,而在函数导数中,有时候因为关于极值点的方程是超越方程,求不出极值点,这时候需
要设而不求,对参数进行整体代换。
(六)双变量同构式问题
在考题中常见到有两个变量的函数或不等式问题,如果原式子能够通过化简、变形成为两个变量不同、结构相同的式子,问题就可以通过构造函数来解决.
三、巧借导数分析,别样化解难题
(1)分析函数性质,简证不等式
导数可以有效解决不等式问题,尤其是证明不等式成立问题,可通过求导的方式来分析不等式,确切来讲是采用构造思想构造新的函数,利用导数来判断函数的单调性,求最值或判断函数符号,
最后结合不等式恒成立原理来证明。
(2)妙求切线方程速解圆锥曲线
圆锥曲线因其计算过程复杂、技巧性强而成为高中数学的重难点知识,对于其中涉及曲线切线方程的问题可以采用导数知识来求解,通过求导的方式来求切线的斜率,从而建立切线方程,需要注意的是曲线方程在转化过程中因定义域所造成的差异。
(3)求导分析模型巧解实际问题
导数在解决与生活实际相关的数学问题中同样有着良好的解题效果,尤其是对于物料问题、距离最值问题等,可以利用导数来分析问题的数学模型,利用求导的方式来